Hausübungen

9. März 2009

Also, äh, für heute fällt mir noch nix ein. Wenn Sie gerne schon etwas Sinnvolles und/oder Interessantes tun möchten, dann lesen Sie in einer oder mehreren Nachschlagewerken Ihrer Wahl nach, wie dort die im Verlauf unseres ersten Termins gefallenen Schlüsselbegriffe ("Logik", "Argument", "Aussage") definiert werden und wie sie sich im Lauf der Zeit entwickelt haben. Kein guter Ansatzpunkt ist die Wikipedia, besonders gute Ansatzpunkte sind begriffsgeschichtliche Wörterbücher, zum Beispiel (auch für den Hausgebrauch geeignet, weil leidlich erschwinglich) Sandkühler (das ist ein Eigenname, keine Berufsbezeichnung, auch wenn ich mich schon oft gefragt habe, was die Vorfahren dieses Autors beruflich gemacht haben): Enzyklopädie Philosophie oder - in der Institutsbibliothek - das Historische Wörterbuch der Philosophie. Wenn Sie letzteres vor sich haben, empfinden Sie vielleicht auch das Studium des Eintrags "Satz vom ausgeschlossenen Dritten" als kurzweilig.

16. März 2009

Übersetzen Sie bitte einige der folgenden Aussagen in die jeweils andere Sprache:

• Wenn Frau Holle ihre Blumen gießt, dann manifestiert sich dies auf Erden als Nieselregen.
• Nur wenn Dr. Jones rechtzeitig den Heiligen Gral findet, überlebt sein Begleiter die Forschungsreise.
• Wenn es regnet und kalt ist, dann verweilt das Schwarzbraune Bergschaf Traude in seinem Stall und spielt auf der Gitarre, ohne einen Blick auf den Wetterbericht zu werfen.
• (p → q)
• (p & ~q) v (q & ~p)

23. März 2009

• Rechnen Sie unter der Voraussetzung, dass die Bewertungsfunktion V für die Satzbuchstaben p, q, r und s die Bewertungen V(p)=W, V(q)=F, V(r)=F und V(S)=W liefert, schrittweise den Wahrheitswert der folgenden Aussagen aus:
  • (~p & ~q)
  • (~p v q)
  • ~(p & ~q)
  • ~~~~~s
  • ~~(~~p → ~s)
• Stellen Sie für einige der obigen und einige der folgenden Aussagen schöne und richtige Wahrheitstabellen auf:
  • (p → (q → p))
  • ((p → q) v (q → p))
  • ((p → q) v (s → p))
  • (p v ~p)
• Prüfen Sie, welche der folgenden Argumente gültig sind:
  • Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Also ist, wenn die Straße nicht nass ist, es nicht der Fall, dass es regnet.
  • Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Es regnet nicht. Also ist die Straße nicht nass.
  • p, q, r |= (p & q) v ~r
  • p, q, r |= (p & q) & ~r

30. März 2009

• Machen Sie sich mit dem axiomatischen Beweisbauer vertraut. Mit seiner Hilfe können Sie axiomatische Herleitungen interaktiv zusammenstellen, ohne dabei die Möglichkeit zu haben, technische Fehler zu begehen (auf dem Papier haben Sie diese Möglichkeit).
• Spielen Sie mit dem Ihnen bekannten Axiomensystem und schauen Sie, was für schöne Aussagen Sie damit herleiten können. Für diese Aufgabenstellung bietet sich der axiomatische Beweisbauer an - mit ihm erzeugte Herleitungen lassen sich mittels Kopieren & Einfügen in jedes Textverarbeitungsprogramm Ihrer Wahl übernehmen und in der Folge leicht ausdrucken. Wenn Sie diese Aufgabe lieber auf dem Papier lösen, müssen Sie darauf achten, beim Herleiten keine Fehler zu begehen.
• Versuchen Sie, aus den bekannten Axiomen einige der folgenden Aussagen herzuleiten (Prämissen brauchen Sie hierfür keine):
  • (Q→(P→Q))
  • ((P→Q)→(P→P))
• Untersuchen Sie die folgenden Argumente auf ihre semantische Gültigkeit und versuchen Sie im Anschluss, möglichst viele der gültigen unter ihnen (syntaktisch) herzuleiten:
  • P |- (Q→P)
  • P |- Q
  • (P→Q), ~Q |- ~P
  • R, (P→Q), (Q→R) |- P
  • P, (P→Q), (Q→R) |- R

13. April 2009

20. April 2009

Präambel: Auch zum Ableiten in Kalkülen des natürlichen Schließens stehen Ihnen hier Online-Programme zur Verfügung, für den "Fitch-style"-Kalkül der Lehrveranstaltung der Beweisbauer im Fitch-Stil. Die Vorteile daran, seine oder ihre Herleitungen auf diesem Wege, hm, herzuleiten, bestehen darin, dass man die gängigen Flüchtigkeits- und Anfänger(innen)fehler nicht begehen kann und dass man gleich eine präsentable Druckfassung erhält (hier heißt die Schaltfläche "Druckansicht"); der Nachteil ist, dass Sie sich erst einmal mit dem Programm vertraut machen müssen. Der wichtigste kommentierungsbedürftige Unterschied zum Herleiten auf dem Papier ist der, dass Sie Prämissen mit der Schaltfläche "Prämisse" eingeben müssen, Zusatzannahmen hingegen mit der Schaltfläche "A". Wie schon beim axiomatischen Fall werden die Konnektive auf Grund der Einschränkungen der üblichen Computertastaturen hier wie folgt eingegeben und angezeigt: "->" (Konditional), "&" (Konjunktion), "v" (Disjunktion), "~" (Negation).

Leiten Sie bitte einige der folgenden Argumente her (sie sind nach aufsteigendem Schwierigkeitsgrad geordnet); bei diesen Argumenten ist die Konklusion jeweils ein Konditional, und in einem solchen Fall versucht man sein oder ihr Glück erst einmal mit einer Pfeil-Einführung.

• p |- q→p
• p→(q→r) |- (p&q)→r
• (p&q)→r |- p→(q→r) (Hier ist die Konklusion ein Konditional mit dem Antecedens p und mit dem Konsequens q→r. Für eine →E muss man also p annehmen und daraus q→r herleiten. Leider ist q→r seinerseits ebenfalls ein Konditional, und um ein Konditional herzuleiten, versucht man in der Regel als erstes eine →E... Man wird also innerhalb der →E, mit der man aus p auf q→r schließt, eine weitere →E benötigen, mit der man aus q auf r schließt.)

Leiten Sie bitte einige der folgenden Argumente her. Ihre Gemeinsamkeit ist, dass eine der Prämissen Disjunktionen sind, weshalb man - wenn sich kein anderer Weg aufdrängt - Oder-Beseitigungen versuchen kann:

• p v (q &r) |- p v q
• (p & q) v r, r→q |- q
• (p→q)v(p→r), p |- q v r

(Falls sich eines der Argumente gar nicht herleiten lässt, es Ihnen besonders wenig gültig erscheint oder Sie einfach besonders viel Spaß haben möchten, dann prüfen Sie einfach auf semantischem Wege, ob das betroffene Argument überhaupt gültig ist.

27. April 2009

Leiten Sie bitte die folgenden Argumente her:

1. p&q |- p→q
2. p→q |- ~(p&~q)
   Lösungsvorschlag (nur im Notfall lesen!)... Hier hilft nur ein indirekter Beweis - nehmen Sie das Gegenteil der Konklusion an und versuchen Sie, daraus einen Widerspruch herzuleiten...
3. p v q, ~q |- p
   Lösungsvorschlag (nur im Notfall lesen!)... Hier empfiehlt sich eine Oder-Beseitigung. Der erste Teil, der Schluss auf p→p, wird nicht sehr kompliziert sein. Der zweite Teil, der Schluss auf q→p, wird dafür etwas komplizierter sein und eines indirekten Beweises bedürfen...
4. |- p→(q→p)
   Ein Argument ganz ohne Prämisse! Eine Aussage, die sich herleiten lässt, ohne dass man dafür irgendwelche Prämissen benötigt, heißt übrigens Theorem.
   Lösungsvorschlag (nur im Notfall lesen!)... Dieses Beispiel ist einfacher, als es aussieht, und ähnelt stark dem Argument p |- q→p, das wir bereits in der Lehrveranstaltung hergeleitet haben. Die herzuleitende Konklusion ist ein Konditional, also ist es ein guter Ansatz, eine Pfeil-Einführung zu versuchen - hierfür nimmt man das Antecedens, p, an und versucht das Konsequens, q→p, daraus herzuleiten. Komplikation: Dieses Konsequens, q→p, ist seinerseits wieder ein Konditional - um es herzuleiten, wird man also noch einer Pfeil-Einführung bedürfen...

Suchen Sie sich eines oder zwei (gerne auch mehrere) der folgenden Argumente aus und ermitteln Sie, welche davon gültig und welche ungültig sind. Leiten Sie anschließend einige der gültigen Argumente her.

1. Aus p&~q folgt p→q
2. Aus ~(p&~q) folgt p→q
3. Aus ~pvq folgt p→q
4. Aus ~(~pvq) folgt p→q
5. Aus p→q folgt p→(pvq)
6. Aus q folgt ~~~~(p→~q)→q
7. Aus ~(p→q) folgt q&rarr p (schwierig)

4. Mai 2009

1. Ermitteln Sie bitte, welche der folgenden Argumente gültig sind, und leiten Sie die gültigen her:
   1. p |- p&q
   2. p&q |- p
   3. p v q |- q→p
   4. p v q |- ~q→p
      Lösungsvorschlag (nur im Notfall lesen!)... Beachten Sie, dass die Konklusion ein Konditional ist. Was versucht man in so einem Fall als erstes? Und: Ja, um aus der Annahme des Antecedens auf das Konsequens zu schließen, werden Sie einer vB bedürfen.
   5. Wenn die Erde eine Kugel ist, dann sind Weltumsegelungen möglich. Weltumseglungen sind möglich. Also ist die Erde eine Kugel.
2. Leiten Sie bitte einige der folgenden Argumente her:
   1. |- p v ~p schwierig!
   2. ~p |- p→q
   3. p→(q→r) |- (p→q)→(p→r)
      Lösungsvorschlag (nur im Notfall lesen!)... Dieses Beispiel ist gar nicht so schwer, wie es aussieht. Die Konklusion ist ein Konditional, deshalb versuchen wir als erstes eine - Sie wissen schon. Das Konsequens, das wir aus dem Antecedens herleiten wollen, ist seinerseits leider wieder ein Konditional - das heißt, wir brauchen noch so eine Sie wissen schon.

25. Mai 2009

Um während der pfingstbedingt langen Vorlesungpause Entzugserscheinungen vorzubeugen, sollten Sie jeden Tag einem oder mehreren der folgenden Aufgabenstellungen widmen.

Übersetzen Sie bitte die folgenden Aussagen:

1. Alle Schafe sind wollig.
2. Nur Schafe sind wollig.
3. Mindestens ein Schaf ist wollig.
4. Mehr als ein Schaf ist wollig.
5. Es gibt auch andere wollige Tiere als Schafe.
6. Es gibt naive Schafe.
7. Nicht alle Schafe sind naiv.
8. Schafe mögen warmes Bier.
9. Manche Schafe trinken zu viel warmes Bier.
10. Raben sind sehr intelligent.
11. Graugänse sind auch nicht dumm.
12. Schweine sind sehr niveauvolle Tiere.
13. Es gibt genau sieben Hauptlaster.
14. Schafe sind Wiederkäuer.
15. Nicht mehr als vier Schafe kennen eine Graugans, und nur eines von ihnen trinkt gerne warmes Bier.
16. Schafe sind sehr anspruchslose Tiere.
17. Einige Schafe sind sogar zu anspruchslos.

Übersetzen Sie bitte auch die folgenden Sätze. Legen Sie dafür folgende Interpretationen der vorkommenden Prädikate zugrunde: S_ ... _ ist ein Schaf; G_ ... _ ist eine Gans; H_ ... _ arbeitet in einem Sozialberuf; F_ ... _ ist eine Führungskraft; B_ ... _ ist berufstätig.

Überlegen Sie auch gleich, welche der folgenden Sätze synonym sind.

1. ∀x(Sx→¬Fx)
2. ∀x(Sx→(¬Bx∨Hx))
3. ∀x(Bx→(Sx∨Gx))
4. ∃x(Sx∧∃y(Gy∧(Bx∧(By∧¬x=y))))
5. ∃x(Sx∧∃y(Sy∧(Bx∧(By∧¬x=y))))
6. ∃x∃y(Sx∧(Gy∧(Bx∧(By∧¬x=y))))
7. ∃x∃y(Sx∧(Sy∧(Bx∧(By∧¬x=y))))
8. ∀x(Sx→¬Gx)
9. ∃x(Sx∧¬Gx)
10. ∃x(Sx∧Gx)
11. ¬∃x(Sx∧Gx)
12. ∃x(Sx∧∃y(Sy∧∃z(Sz∧∃x₁(Sx₁∧∃x₂(Sx₂∧∃x₃(Sx₃∧(¬x=y
    ∧(¬y=z∧(¬x=z∧(¬x₁=x∧(¬x₁=y∧(¬x₁=z∧(¬x₂=x∧(¬x₂=y∧
    (¬x₂=z∧(¬x₂=x₁∧(¬x₃=x&(¬x₃=y∧(¬x₃=z∧(¬x₃=x₁∧(¬x₃=x₂)))))))))))))))))))))

2012-03-31 01:19:53
christian.gottschall@posteo.de