Hausübungen

7. März 2011

Heute gibt es noch keine Hausübung.

14. März 2011

Heute gibt es schon wieder keine Hausübung, weil eigentlich Rektorstag war und deshalb nur diejenigen gekommen sind, die das nicht gewusst haben (mich eingeschlossen).

Wenn Sie dennoch eine sinnvolle Beschäftigung suchen oder einen Teil des Versäumten nachholen wollen, dann können Sie einfach den Wikipedia-Artikel über Mangalica-Schweine lesen und über die Gültigkeit der beiden folgenden Argumente nachdenken:

1. Alle Mangalicaschweine sind lieb.
   Logik ist lieb.
   Also sind alle Mangalicaschweine Logik.
2. Die Summe von 5 und 3 ist acht.
   Die Summe von 2 und 6 ist acht.
   Also ist die Summe von 5 und 3 gleich der Summe von 2 und 6.

21. März 2011

Anmerkungen:

1. Wenn die Konnektive nicht lesbar sind (bzw. wenn Sie anstelle von Konnektiven nur komische Kasterl sehen), dann kann Ihr Browser keine Unicode-Zeichen darstellen. Sie können in diesem Fall versuchen, in den Untiefen der Menüs Ihres Browsers eine Einstellung zu finden, mit der Sie auf Unicode-Zeichen umschalten können, oder eine Kollegin oder einen Kollegen um einen Ausdruck bitten.
2. Sie müssen nicht alle oder viele oder überhaupt irgendwelche Hausübungsbeispiele machen (je weniger Sie machen, desto weniger Arbeit habe ich mit dem Korrigieren und Kommentieren), aber wenn Sie zumindest ein bisssssi machen, dann erhöht das die Chance, es auch wirklich zu können, oder zumindest die Einsicht, ob Sie es können und was Sie noch nicht können.

Und jetzt die Beispiele:

• Bilden Sie bitte beliebig viele möglichst schöne wohlgeformte Sätze der aussagenlogischen Sprache. Als Verzierung sind Girlanden und Tiermotive zulässig.
• Welche der folgenden Zeichenketten sind wohlgeformte Ausdrücke und welche nicht? Warum? Warum nicht?
  1. (P→(Q∧P)) - ausführliche Beispiellösung:
     P ist ein Satz, weil es ein Satzbuchstabe ist.
     Q ist ein Satz, weil es ein Satzbuchstabe ist.
     Da also sowohl P als auch Q Sätze sind, ist auch (Q∧P) ein Satz.
     Und da damit sowohl P als auch (Q∧P) Sätze sind, ist jetzt halt auch (P→(Q∧P)) ein Satz.
  2. P
  3. ((P∧Q)∨(P→R))
  4. ¬(P∧Q)
  5. (¬P∧Q)
  6. ¬P∧Q
  7. (P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
  8. (P→Q)→(¬Q→¬P)
  9. P→(Q→P)
• Legen Sie bitte für die Satzbuchstaben P, Q, R, S, P₁ und P₂₁₃ eine schöne Bewertung fest. - Beispiellösung: "Hiermit lege ich fest, dass P die Bewertung wahr hat."
• Berechnen Sie die Bedeutung (das heißt den Wahrheitswert) einiger der folgenden Sätze basierend auf der von Ihnen im vorangehenden Beispiel festgelegten Bedeutung der Satzbuchstaben P, Q, R, S, P₁ und P₂₁₃.
  1. (P∨(P∨P))
  2. (P∨(P∧Q))
  3. ((P∧P₂₁₃)∨(S∧R))
  4. ((P∨P₂₁₃)∨P)
  5. (P∧(P∧P))

28. März 2011

Freude mit der Logik

1. Bilden Sie bitte ein paar schöne Herleitungen mit den Ihnen bisher bekannten Schlussregeln und schreiben Sie bei jeder Herleitung dazu, was genau damit bewiesen ist. Als Dekoration sind bei dieser Aufgabe Tierdarstellungen und florale Motive zulässig.
   Wenn Sie möchten, dann können Sie die Herleitungen mit dem Beweisbauer erstellen.
   Nachteil: Sie müssen dort die Konnektive umschreiben, und zwar mit "&" für die Konjunktion, "v" für die Disjunktion, "->" für das Konditional und "~" für die Negation.
   Vorteil: Sie können beim Anwenden der Schlussregeln keine Fehler machen, weil das Programm dies unterbindet. Die hierfür eingesetzten Stromschläge sind gesundheitlich meist unbedenklich, didaktisch aber sehr wertvoll.
   Mit der Schaltfläche "Druckansicht" wird die Herleitung dann in einer Form angezeigt, die Sie mit "Copy & paste" z.B. in eine Textverarbeitung (zum Ausdrucken) oder in ein Mailprogramm übernehmen können.
2. Untersuchen Sie bitte ein paar der folgenden Argumente auf ihre Gültigkeit.
   Implizit ist klar, dass damit semantische Gültigkeit gemeint ist. Und warum ist das implizit klar?:
   • Aus P→Q sowie P folgt Q (tut es das?).
   • Aus P→Q sowie Q folgt P (tut es das?).
   • Aus P→Q sowie ¬P folgt ¬Q (tut es das?).
   • Aus P→Q sowie ¬Q folgt ¬P (tut es das?).
   • Aus (P∧Q) folgt (Q∧P) (tut es das?).
   • Aus (P∧(Q∧R)) folgt ((P∧Q)∧R) (tut es das?).
   • Aus (P∧(Q∧R)), (Q∨R) sowie (P→Q) folgt (P→Q)∧R (tut es das?).
3. Und, vielleicht der Höhepunkt dieser Woche: Leiten Sie bitte ein paar der gültigen Argumente aus dem vorangehenden Beispiel ab.

Verständnisfragen

...Antworten darauf müssen Sie gar nicht abgeben, aber Sie sollten gaaaanz sicher sein, dass Sie die richtigen Antworten kennen, und im Zweifelsfall die betroffenen Fragen beim nächsten Mal thematisieren und/oder (nichtausschließend!) allfällige Antwortversuche und -überlegungen abgeben.

1. Kann man ungültige Argumente herleiten? Warum/warum nicht?
2. Oben in Aufgabe 2, "Untersuchen Sie bitte ein paar [...] Argumente auf ihre Gültigkeit", steht in 70% großer Schrift die rätselhafte Anmerkung, dass es implizit klar ist, dass damit semantische Gültigkeit gemeint sein muss. Warum ist das so klar? Oder ist es am Ende gar nicht so klar...?
3. Oddeliese, die handzahme Sandviper, ist eine ausgezeichnete Logikerin. Seit zwei Tagen versucht Oddeliese erfolglos, ein Argument herzuleiten. Sagt dieser Sachverhalt etwas über die Gültigkeit oder Ungültigkeit des betroffenen Arguments aus, und - wenn ja - was, und warum (bzw. warum nicht)?

4. April 2011

Sie wissen eh: Sie müssen nicht allllle Aufgaben lösen oder zu lösen versuchen.

Übersetzen üben

1. Nur bei Regen verlässt Fridolin, der Regenwurm, seine gemütliche Kellerwohnung.
2. Traude, das schwarzbraune Bergschaf, fährt am Wochenende immer in die Steiermark und grast Bärlauch, aber nur wenn sie hungrig ist und gerade nicht im Ausland oder auf einem 60er-Jahre-Festival weilt.
3. Der Bus verkehrt an Werktagen außer Samstag und an Samstagen wenn schulfreier Werktag.
4. Die Welt geht unter, weil niemand auf die Nachricht der Delphine hören wollte.
5. (P∧Q)→R (finden Sie eine schöne Übersetzung für die einzelnen Satzbuchstaben und übersetzen Sie damit die gesamte Aussage)
6. (P→Q)∧(Q→P)
7. P∨¬P
8. ¬(P∧¬P)

Herleiten üben

1. Zeigen Sie bitte, dass aus P→R die Aussage (P∧Q)→R folgt.
2. Zeigen Sie bitte, dass aus (P∨Q)→R die Aussage P→R folgt.
3. Zeigen Sie bitte, dass aus P die Aussage Q→P folgt.
4. Zeigen Sie bitte, dass aus P∨Q, P→R sowie Q→R die Aussage R folgt.
5. Zeigen Sie bitte, dass aus P∨Q sowie Q→R die Aussage (P→R)→R folgt.

Verständnisfragen

Gut ist eine Antwort nur dann, wenn sie gut begründet ist.

1. Aus P∧Q folgt Q∧P, und aus Q∧P folgt P∧Q. Ist es immer so, dass, wenn B aus A folgt, dann auch A aus B folgt?
2. Wenn man bei einem gültigen Argument eine Prämisse wegnimmt, wird es dann ungültig? Oder kann es ungültig werden? Oder bleibt es gültig? Oder was?
3. Wenn man bei einem gültigen Argument eine Prämisse hinzufügt, wird es dann ungültig? Oder kann es ungütig werden? Oder was?
4. Wenn man bei einem ungültigen Argument eine Prämisse wegnimmt, wird es dann gültig? Oder kann es dann gültig werden? Oder bleibt es immer ungültig? Oder was?
5. Wenn man bei einem ungültigen Argument eine Prämisse hinzufügt, bleibt es dann ungültig? Oder wird es dann gültig? Oder was?
6. Welche der folgenden deutschen Sätze sind Aussagen im Sinn der Aussagenlogik?
   1. Ein guter Schuss zur rechten Zeit schafft Ruhe und Gemütlichkeit.
   2. Der gegenwärtige Bundeskanzler von Österreich hat aufgehört zu lächeln.
   3. Der gegenwärtige Kaiser von Österreich hat aufgehört zu lächeln.
   4. Es ist nicht der Fall, dass Der gegenwärtige Kaiser von Österreich aufgehört hat zu lächeln.

11. April 2011

Prüfen auf Gültigkeit

Prüfen Sie bitte ein paar der folgenden Argumente auf ihre Gültigkeit.

1. Aus P, Q, R sowie S folgt ((P∧Q)∧(R∧S))
2. Aus P, Q, R, S, T, U sowie V folgt (P∨¬P)
3. Aus P, Q, R, S, T, U sowie V folgt (P∧¬P)
4. Aus (P→Q), (Q→R) sowie ¬R folgt ¬P
5. Aus P folgt Q.
6. Aus P folgt (P∨Q).
7. Aus P folgt (P∧Q).
8. Aus ¬(P∨Q) folgt (¬P∨¬Q)
9. Aus ¬(P∨Q) folgt (¬P∧¬Q)
10. Aus ¬(P∧Q) folgt (¬P∨¬Q)
11. Aus ¬(P∧Q) folgt (¬P∧¬Q)
12. Aus (¬P∨¬Q) folgt ¬(P∨Q)
13. Aus (¬P∨¬Q) folgt ¬(P∧Q)
14. Aus (¬P∧¬Q) folgt ¬(P∧Q)
15. Aus (¬P∧¬Q) folgt ¬(P∨Q)

Herleiten

1. Leiten Sie bitte einige derjenigen Argumente her, die sich im vorigen Beispiel als gültig herausgestellt haben.
2. Zeigen Sie bitte, dass aus (P∧(Q∧R)) sowie (R→S) die Aussage (P∧S) folgt.
3. Zeigen Sie bitte, dass aus (P∧(Q∧R)) sowie (R→S) die Aussage ((Q→T)→(S∧T)) folgt.
4. Zeigen Sie bitte, dass aus (P∨(Q∧R)) die Aussage ((P∨Q)∧(P∨R)) folgt.

Verständnisfragen

1. Wenn die Konklusion eines Arguments eine Tautologie ist (P.S.: Was ist eine Tautologie?), sagt das dann irgendetwas über die Gültigkeit dieses Arguments aus?
2. Wenn die Konklusion eines Arguments ein Widerspruch ist, sagt das dann irgendetwas über die Gültigkeit des Arguments aus?
3. Wenn unter den Prämissen eines Arguments mindestens eine Tautologie ist, sagt das dann etwas über die Gültigkeit dieses Arguments aus?
4. Wenn unter den Prämissen eines Arguments mindestens ein Widerspruch ist, sagt das dann etwas über die Gültigkeit dieses Arguments aus?
5. Wenn alle Prämissen eines Arguments Tautologien sind, sagt das dann irgendetwas über die Gültigkeit des Arguments aus?
6. Wenn alle Prämissen eines Arguments Widersprüche sind, sagt das dann irgendetwas über die Gültigkeit des Arguments aus?

16. Mai 2011

1. Schreiben Sie bitte ein paar schöne Prädikate auf.
2. Schreiben Sie bitte zwei, drei schöne Argumente (gerne auch aussagenlogische) auf, die ungültig sind, obwohl all ihre Prämissen und auch die Konklusion faktisch wahr sind.
3. Wenn Sie eine Note schlechter als Sehr gut bekommen haben, dann lösen Sie bitte alle Hausübungsbeispiele dieses und aller vorangehenden Semester, bei denen es ums Herleiten von Argumenten geht, noch einmal.
4. Wenn Sie eine Note schlechter als Gut bekommen haben, dann lösen Sie bitte alle Hausübungsbeispiele dieses und aller vorangehenden Semester, bei denen es nicht ums Herleiten von Argumenten geht, auch noch einmal.

23. Mai 2011

Übersetzen Sie bitte einige der folgenden Aussagen in möglichst tiefschürfender Weise. Für mehrdeutige Aussagen geben Sie bitte Übersetzungen aller möglicher Interpretationen an.

• Faymann und Dichand sind verheiratet.
• Nicht alle Schweine sind rosa.
• Niemand spricht gerne mit blauen Gänsen.
• Tierliebende Menschen sprechen gerne mit einer Gans.
• Es gibt keine blauen Schweine.
• Michael Häupl und der gelernte Zahntechniker Strache sind geschieden.
• Keine/r liebt alle Menschen.
• Nur große Schweine kommen mit dem Rüssel an den Lichtschalter heran.

Nur für native speaker:

• Mechthild Schwanenreiter-Schauinsland und Kriemhild Schwanenreiter-Schauinsland sind verheiratet.
• Isegrim Müller Thurgau und Chlodwig Müller Thurgau sind verheiratet.
• Hans-Dieter Meier Milchmann und Isolde Maier Milchmann sind verheiratet.

Denken Sie bitte über einige der folgenden Fragen nach.

1. Babe hat die Eigenschaft, rosa zu sein (oder hat es die nicht?) Auf Babe trifft das Prädikat "_ ist rosa" zu. Folgt daraus, dass Eigenschaften und Prädikate dasselbe oder das gleiche sind? Was von beidem?
2. Wenn ja: Warum?
3. Wenn nein: Warum nicht?
4. Wenn nein: Haben Prädikate und Eigenschaften irgendwas miteinander zu tun? Warum und was? Oder: Warum nicht?
5. Mit gutem Grund sagen viele Philosophinnen und Philosophen und viele Logikerinnen und Logiker zu dem, was wir als Prädikat definiert haben, lieber "Aussageform". Haben Sie eine Idee, warum das der Fall sein könnte?
6. Gibt es einen Unterschied zwischen "Wenn... dann..." und "Aus... folgt ..."? Wenn ja: Welchen? Wenn nein: Warum nicht?

30. Mai 2011

Vorbemerkung: Wie Sie sehen, werden die Hausübungen immer länger und anspruchsvoller. Das liegt einfach daran, dass die Abschlussprüfung naht, und soll Ihnen ermöglichen, sich vorzubereiten, so lange noch Zeit ist - am Semesterende ist ja erfahrungsgemäß auch sonst viel los.

• Schauen Sie die folgenden prädikatenlogischen Aussagen ganz genau an:
  1. ∀x(Fx∧Gx)
  2. ∀x(Fx∨Gx)
  3. ∀x(Fx→Gx)
  4. ∃x(Fx∧Gx)
  5. ∃x(Fx∨Gx)
  6. ∃x(Fx→Gx)
• Was bedeuten die Aussagen, die Sie gerade ganz genau angeschaut haben, bzw. wie kann man die schön übersetzen (verwenden Sie für F und für G ein deutsches Prädikat Ihrer Wahl) - und: gibt es unter diesen Aussagen zwei, die dasselbe bedeuten? Und: Gibt es unter diesen Aussagen mindestens eine, die irgendwie nicht etwas wahnsinnig Sinnvolles/Hilfreiches aussagt? Und wenn ja: Welche und warum?
• Was bedeuten die beiden Aussagen (∀xFx∧∀xGx) und ∀x(Fx∧Gx)? Sind die beiden synonym? Warum/warum nicht? Und gibt es sonst irgendeine interessante Beziehung zwischen den beiden?
• Was bedeuten die beiden Aussagen (∀xFx∨∀xGx) und ∀x(Fx∨Gx)? Sind die beiden synonym? Warum/warum nicht? Und gibt es sonst irgendeine interessante Beziehung zwischen den beiden?
• Was bedeuten die beiden Aussagen (∃xFx∧∀xGx) und ∃x(Fx∧Gx)? Sind die beiden synonym? Warum/warum nicht? Und gibt es sonst irgendeine interessante Beziehung zwischen den beiden?
• Was bedeuten die beiden Aussagen (∃xFx∨∃xGx) und ∃x(Fx∨Gx)? Sind die beiden synonym? Warum/warum nicht? Und gibt es sonst irgendeine interessante Beziehung zwischen den beiden?
• Übersetzen Sie bitte ein paar der folgenden Aussagen möglichst tiefschürfend in die Sprache der Prädikatenlogik (bei mehrdeutigen Sätzen halt bitte jede mögliche Interpretation):
  1. Alles ist himmelblau.
  2. Alle Schweine sind rosa.
  3. Mindestens ein Schwein ist rosa.
  4. Höchstens ein Schwein ist himmelblau. (Schwierig!)
  5. Genau ein Schwein ist himmelblau. (Schwierig!)
  6. Nur ein sehr braver Hai isst täglich seinen Haferbrei (© Felix, der Mathematiker).
  7. "In Schweden erster EHEC-Todesfall außerhalb Deutschlands" (ORF-Schlagzeile)
• Um unsere prädikatenlogische Formationsregel Nummer 2 besser zu verstehen, ziehen Sie bitte voll nach, nachvollziehen Sie bitte, wie jede der folgenden Aussagen mit Hilfe der Formationsregeln erzeugt wurde [was ist ι? wer ist γ? und wer ist φ(ι)? und φ(γ)? Und überhaupt!]:
  1. ∃(Fx∧Gx)
  2. ∃Fx∧∃xGx)
  3. ∃(Fx∧Gax)
  4. ∀(Fx→∃ySxy)
• Weniger wichtig, aber doch: Wenn Sie die vorangehende Übung gut bewältigt haben, dann fällt es Ihnen jetzt ganz leicht herauszufinden, welche der folgenden Ausdrücke wohlgeformte prädikatenlogische Aussagen sind und welche nicht (und warum):
  1. ∀xFx∧Gx
  2. ∃yFy∧∃yGy
  3. ∀xFx→Fa
  4. ∀xFx→Fx
  5. ∀x(Fx→Fa)
  6. ∀x(Fx→Fx)
  7. (∀xFx→Fa)
  8. (∀xFx→Fx)
• Jetzt wieder etwas Wichtiges: Finden Sie bitte für jede der folgenden Aussagen je eine Interpretation, die diese Aussage wahr bzw. falsch macht. Sie können die Interpretationen entweder grafisch darstellen oder in geeigneter Mengenschreibweise.
  1. ∀x(Fx→Gx)
  2. ∀x(Fx∧Gx)
  3. ∃x(Fx∧Gx)
  4. ∃x(Fx→Gx)
  5. ∀x(Fx→∃yGxy)
  6. ∃x(Fx∧∀yGxy)

2012-03-31 01:19:53
christian.gottschall@posteo.de