Heute gibt es noch keine Hausübung.
Übesetzen Sie bitte einige der folgenden deutschen Aussagen
in die Sprache der Aussagenlogik. Wenn die Aussagen mehr als eine Lesart
zulassen, dann übersetzen Sie bitte ganz einfach jede Lesart.
- Zikaden und Langusten sind hervorragende Zuhörer/innen.
- Die Erstebank hat ihr Gewinnziel für 2011 weit übertroffen,
und auch das Vorzeichen des Gewinns ist ein anderes als geplant.
- Moody's hat das Rating der Bank Austria herabgestuft und bescheidet
ihr negative Aussichten.
- Wenn Meischberger Innenminister und Strache Justizminister wird,
dann sinkt die Zahl der von der Justiz verfolgten Korruptionsfälle
und verringert sich die Arbeitsbelastung der Strafgerichte.
- Wenn Faymann Bundeskanzler bleibt und Laska Finanzministerin wird, dann
entsteht auf dem Prater-Vorplatz ohne Ausschreibung eine
Eisenbahn-Erlebniswelt, gehen aber Strache,
Meischberger und Strasser leer aus.
- Strache, Strasser und Graf trinken gerne Bier, aber nur einer
von ihnen spielt gerne Paintball und bestellt Bier stets in
Dreiergebinden.
- Weder Strache noch Vassilakou sind satisfaktionsfähig.
- Nicht nur bei Regen ist die Straße nass.
- Während bei der Aufnahmeprüfung der Wiener Polizei 139,3 von 982
Punkten für ein positives Ergebnis reichen, setzt das spanische Militär
für Berufssoldat(inn)en zwar keinen Schulabschluss, aber einen
Intelligenzquotienten von mindestens 70 voraus.
- Sieglinde, die schüchterne Schnecke, strickt Vorhänge
für ihr Haus und für die Garconniere ihrer Freundin Oddeliese,
der handzahmen Sanviper, sofern diese nicht vergisst, ihre Blumen
zu gießen.
Übersetzen Sie bitte einige der folgenden Aussagen der logischen
Sprache in die deutsche Sprache. Wählen Sie für die vorkommenden
Satzbuchstaben irgendwelche Übersetzungen, die Ihnen gut gefallen.
- P→Q
- Q→P
- P→(Q→R)
- (P∧Q)→R
- P∧(Q→R)
- P→(Q→P)
- P∧¬P
Bilden Sie bitte für ein paar der nachfolgenden Aussagen eine
Wahrheitstabelle. Als Dekoration sind psychedelische, florale und
Tiermotive zulässig.
Hinweis: Wenn Sie anstelle von Konnektiven komische Zeichen
sehen, dann brauchen Sie einen Unicode-fähigen
Browser/Zeichensatz/sonstwas.
- P∧(Q∧R)
- (P∧Q)∧R (Was sagt Ihnen der Vergleich der
Wahrheitstabellen dieser beiden Aussagen?)
- P∧(Q∨R)
- (P∧Q)∨R (Was sagt Ihnen der Vergleich der
Wahrheitstabellen dieser beiden Aussagen?)
- P→(Q→R)
- (P→Q)→R (Was sagt Ihnen der Vergleich der
Wahrheitstabellen dieser beiden Aussagen?)
- P→(Q→P)
- ¬(P∨P)
- (P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
- Die Auchenorrhyncha Anastasia saugt nur bei Schönwetter an
Pflanzen.
- Bei Regenwetter verlässt die Gastropoda Gargantua gerne
ihr Haus und fährt ihre Fühler aus.
Wenn Ihnen nach Denken zumute ist: Wie viele einstellige
Konnektive kann es denn in der klassischen Aussagenlogik geben? Und
wie viele dreistellige?
Basteln Sie bitte für einige der folgenden Wahrheitswertverläufe
jeweils mindestens eine Aussage, die diesen Wahrheitswertverlauf hat.
- W-W-F-W, Beispiellösungen: Q→P, ((P∧Q)∨(P∧¬Q))∨(¬P∧¬Q)
- F-W-F-W
- F-W-W-W
- W-F-F-F-F-F-F-F
- W-F-F-F-F-F-F-W
- W-F-F-F-W-F-F-W
Warum verwenden wir keine dreistelligen Konnektive, keine vierstelligen
Konnektive, keine fünfstelligen Konnektive, keine sechsstelligen
Konnektive, keine siebenstelligen Konnektive, keine achtstelligen Konnektive,
keine neunstelligen Konnektive, keine zehnstelligen Konnektive, keine
elfstelligen Konnektive, keine zwölfstelligen Konnektive,
keine dreizehnstelligen Konnektive, keine vierzehnstelligen Konnektive,
keine fünfzehnstelligen Konnektive, keine sechzehnstelligen Konnektive,
keine siebzehnstelligen Konnektive, keine achtzehnstelligen Konnektive,
keine neunzehnstelligen Konnektive, keine zwanzigstelligen Konnektive,
keine einundzwanzigstelligen Konnektive, keine zweiungzwanzigstelligen
Konnektive und keine Konnektive von einer Stelligkeit größer
als zweiundzwanzig?
Zur Frage der (semantischen) Gültigkeit von Argumenten haben
wir zwar noch nix geübt, aber da Sie wissen, wann ein Argument
gültig ist, und weil es eine gute Übung ist, können
Sie gerne das eine oder andere der folgenden Argumente auf seine
Gültigkeit hin untersuchen:
- Aus P∧Q folgt Q∧P
- Aus P∧(Q∧R) folgt (P∧Q)∧R
- Aus P∨(Q∧R) folgt (P∨Q)∧R
- Aus P, Q, R sowie S folgt (P∧Q)∧(R∧S)
- Aus P→Q sowie Q→R folgt ¬R→¬P
- Aus P→Q folgt Q→P
Heute haben wir besprochen, was funktionale Vollständigkeit ist (sie
erinnern sich: leger gesprochen ist eine Menge von Konnektiven genau dann
funktional vollständig, wenn sich mit diesen Konnektiven alllle
überhaupt nur möglichen Konnektive ausdrücken lassen).
- Ist Ihnen klar, warum die Menge {¬, ∧, ∨} funktional
vollständig ist? (Wir haben das nicht bewiesen und können
das auch in diesem Stadium nicht beweisen, aber es ist freundlich
intuitiv.)
- Können Sie eine andere funktional vollständige
Konnektivmenge basteln? Oder vielleicht sogar verschiedene Mengen...?
- Glauben Sie, dass es eine funktional vollständige Konnektivmenge
geben kann, die weniger als drei Konnektive enthält?
- ...weniger als zwei?
Nachdem wir uns heute gar so in Klammern verstrickt haben, hier
ein Vorgeschmack auf die polnische Notation:
- Statt P∧Q schreibt man in polnischer Notation Kpq (Satzbuchstaben
werden klein geschrieben).
- Statt P∨Q schreibt man in polnischer Notation Apq.
- Statt P→Q schreibt man in polnischer Notation Cpq.
- Statt ¬P schreibt man in polnischer Notation Np.
- Klammern gibt's keine.
Beispiele:
- (P∧Q)∧R ist KKpqr (Kpq ist P∧Q, R ist r, und die Konjunktion
beider ist dann eben KKpqr).
- P∧(Q∧R) ist KpKqr (P ist p, Q∧R ist Kqr, und die Konjunktion
beider ist dann eben KpKqr).
- NCpq ist die Verneinung von Cpq. Cpq ist das Konditional P→Q, und
dessen Verneinung lautet halt ¬(P→Q).
- CNpq ist ein Konditional. Das Antecedens ist eine Verneinung ("N").
Wer oder was wird verneint? - der Satzbuchstabe p ("Np"). Das Konsequens
ist der Satzbuchstabe p, also P. Somit: CNpq ist ¬P→Q.
- CNApqKNpNq ist ein Konditional ("C"). Das Antecedens ist eine
Verneinung ("N"). Verneint wird eine Disjunktion ("A"), und dessen
Disjunkte sind P sowie Q. Das Konsequens ist eine Konjunktion ("K"),
und deren erstes Konjunkt ist eine Verneinung ("N") eines Satzbuchstaben;
zweites Konjunkt ist ebenfalls eine Verneinung eines Satzbuchstaben.
Damit ist klar: CNApqKNpNq bedeutet (¬(P∨Q)→(¬P∨¬Q)) -
ganz ohne Klammern.
Ja, und jetzt:
- Übersetzen Sie einfach ein paar Aussagen Ihrer Wahl in die
polnische Notation!
- Können Sie die Aussage ApNp in Klammerschreibweise übersetzen?
(Wenn ja: wie lautet die Übersetzung?)
- Können Sie die Aussage NKpNp in Klammerschreibweise übersetzen?
(Wenn ja: wie lautet die Übersetzung?)
- Und ApKqr?
- Und AKqpr?
- Und wie ist es mit der da: CCpCqrCCpqCpr?
- Können Sie Formationsregeln für die polnische
Notation basteln?
- Basteln Sie doch bitte ein paar wohlgeformte Aussagen (gerne auch
welche in polnischer Notation)!
- Zeigen Sie doch bitte, dass aus P die Aussage P∧P herleitbar ist.
- Zeigen Sie doch bitte, dass aus (P∧Q)∧R die Aussage
(R∧Q)∧R herleitbar ist.
- Zeigen Sie doch bitte, dass aus (P∧Q)∧R die Aussage
(P∧R)∧Q herleitbar ist.
- Zeigen Sie doch bitte, dass aus den drei Aussagen P∧Q, P∧R
sowie R∧S die Aussage P∧(Q∧S) herleitbar ist.
- Prüfen Sie bitte, ob aus den Aussagen P∧Q sowie ¬P
die Aussage ¬Q folgt.
- Prüfen Sie bitte, ob aus den Aussagen Apq sowie Np
die Aussage Nq folgt.
- Prüfen Sie bitte, ob aus den Aussagen NKpq sowie p
die Aussage Nq folgt.
Einfachere Herleitungen
- Zeigen Sie bitte, dass aus P∧(Q∧R) die Aussage
S→(R∧S) herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus P→Q sowie P→R die
Aussage P→(Q∧R) herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus P sowie Q die Aussage
R→(Q∧(P∧R)) herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus P sowie Q die Aussage
R→(P∧Q) herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus P→Q sowie Q→R die
Aussage P→R herleitbar ist.
Schwierigere Herleitungen
- Zeigen Sie bitte, dass aus P die Aussage Q→P herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus (P∧Q)→R die Aussage
P→(Q→R) herleitbar ist.
Denkanstößige Fragen
- Sie haben gar nicht gefragt, wozu das Herleiten gut ist,
wo man doch mit dem Herleiten nur die Gültigkeit eines
Arguments zeigen kann, während man semantisch (also mit
den coolen Wahrheitstabellen) sogar für jedes Argument
entscheiden kann, ob es gültig ist oder nicht.
Aus diesem Grund frage jetzt ich: Haben Sie Ideen, warum man
selbst in diesem Stadium Herleitungen mögen kann...?
- Sie wissen ja, dass die klassische Aussagenlogik nur solche
Aussagen thematisiert, die entweder wahr oder falsch sind.
Bedeutet das, dass für jede beliebige Aussage P
aus einer Menge von Prämissen Γ auf jeden Fall
entweder P oder ¬P folgt...?
Einfachere Herleitungen
- Zeigen Sie bitte, dass aus den beiden Aussagen P→Q sowie ¬Q
die Aussage ¬P herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus der Aussage P die Aussage Q→(P∧Q)
herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus den beiden Aussagen P→R sowie
Q→S die Aussage (P∧Q)→(R∧S) herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus den beiden Aussagen ¬(P∧Q) sowie
P die Aussage ¬Q herleitbar ist.
Schwierigere Herleitungen
- Zeigen Sie bitte, dass aus den beiden Aussagen P→Q
sowie Q→R die Aussage ¬R→¬P herleitbar ist.
- Zeigen Sie bitte, dass aus den beiden Aussagen
¬(¬(P→Q)∧¬R) sowie ¬R die Aussage P→Q herleitbar
ist.
Zur Erinnerung: Sie müssen (und sollen) natürlich
nicht immer alle Beispiele lösen!
Einfachere Herleitungen
- Zeigen Sie bitte, dass aus P→R sowie R→¬Q die
Aussage P→¬Q folgt.
- Zeigen Sie bitte, dass aus P→R sowie Q→¬R die
Aussage P→¬Q folgt.
- Zeigen Sie bitte, dass aus P∨Q die Aussage ¬Q→P folgt.
- Zeigen Sie bitte, dass aus P∧Q, R∧¬S sowie P→T
die Aussage U→(T∧¬S) folgt.
Schwierigere Herleitungen
- Zeigen Sie bitte, dass aus P∨(Q→R) sowie P→R die
Aussage Q→R folgt. (Mit Ihrer ∨B ist das sehr
schwierig, mit meiner hingegen sehr einfach.)
- Zeigen Sie bitte, dass aus P→S sowie P∨Q die Aussage
R→(S∨Q) folgt. (Auch das ist mit Ihrer ∨B sehr
schwer, mit meiner hingegen ziemlich einfach.)
Diese Woche haben Sie keine Zeit für eine Hausübung,
weil Sie alle intensiv für die Prüfung üben.
Übersetzungen
Übersetzen Sie bitte einige der folgenden Aussagen in die Sprache
der Prädikatenlogik:
- Alle rosa Schweine sind Hausschweine.
- Nur Wildschweine wohnen im Lainzer Tiergarten.
- Kein Schwein ruft mich an.
- Es gibt genau ein sprechendes Schaf.
Modelle und Interpretationen
- Was ist der Unterschied zwischen einem Modell und einer
Interpretation?
- Finden Sie bitte für einige der folgenden Aussagen mindestens
ein Modell, in dem diese Aussage wahr ist, und mindestens ein
Modell, in dem diese Aussage falsch ist:
- Nur brave Schweine wohnen im Lainzer Tiergarten.
- Kein Schwein ruft mich an.
- Wrabetz wält seinen Büroleiter selber.
- ∀x(Fx∨Gx)
- ∀xFx∨∀xGx
- ∃x∃y((Fx∧Fy)∧¬x=y)
- Zeigen Sie bitte für einige der folgenden ungültigen
Argumente, dass sie ungültig sind:
- Aus ∀x(Fx∨Gx) folgt
∀xFx∨∀xGx.
- Aus ∀x(Fx→Gx) sowie Ga folgt
Fa.
- Aus ∀x(Fx→Gx) sowie
∀x(Gx→Hx) folgt
∀x(Hx→Fx).
$Date: 2015/04/21 00:20:41 $
christian.gottschall@posteo.de